Найди корни уравнения sin (\frac{5π}{2} + 4x) = \frac{\sqrt{2}}{2} на отрезке [-\frac{π}{4}; \frac{π}{4}].

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Решаем тригонометрическое уравнение

Уравнение имеет вид: \[\sin \left(\frac{5\pi}{2} + 4x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Так как \(\sin(\frac{5\pi}{2} + 4x) = \sin(\frac{\pi}{2} + 4x) = \cos(4x)\), уравнение можно переписать как:

\[\cos(4x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Общее решение для \(\cos(y) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет вид: \[y = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

В нашем случае \(y = 4x\), поэтому:\[4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Разделим обе части на 4, чтобы выразить \(x\): \[x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\]

• Шаг 2: Отбираем корни на заданном отрезке

Нам нужно найти корни, принадлежащие отрезку \([-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]\).

Рассмотрим два случая:

1. \[x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\]

   Подставляем различные значения \(k\) и проверяем, попадают ли корни в заданный отрезок:

   • \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{16}\) (принадлежит отрезку)
   • \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{16}\) (не принадлежит отрезку)
   • \(k = -1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{16}\) (принадлежит отрезку)

2. \[x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\]

   Подставляем различные значения \(k\) и проверяем, попадают ли корни в заданный отрезок:

   • \(k = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{16}\) (принадлежит отрезку)
   • \(k = 1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{16}\) (принадлежит отрезку)
   • \(k = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{2} = -\frac{9\pi}{16}\) (не принадлежит отрезку)

Таким образом, корни, принадлежащие отрезку \([-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]\) это: \[-\frac{7\pi}{16}, -\frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{16}, \frac{7\pi}{16}\]

Ответ: \[-\frac{7\pi}{16}, -\frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{16}, \frac{7\pi}{16}\]