Найди корни уравнения sin x · cos x = - \frac{1}{2} sin x.

Ответ: x = \( \pi n \); x = \( \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где n ∈ Z.

Решение:

Исходное уравнение: sin x \cdot cos x = - \frac{1}{2} sin x.

• Шаг 1: Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[ sin x \cdot cos x + \frac{1}{2} sin x = 0 \]

• Шаг 2: Вынесем sin x за скобки:

\[ sin x (cos x + \frac{1}{2}) = 0 \]

• Шаг 3: Приравняем каждый множитель к нулю:

sin x = 0 или cos x + \frac{1}{2} = 0

• Шаг 4: Решим первое уравнение:

sin x = 0

x = \( \pi n \), где n ∈ Z.

• Шаг 5: Решим второе уравнение:

cos x + \frac{1}{2} = 0

cos x = - \frac{1}{2}

x = \( \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n \), где n ∈ Z.

x = \( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где n ∈ Z.

• Шаг 6: Переведём в градусы:

x = \( \pm \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180}{\pi} = \pm 120 \)

• Шаг 7: Запишем окончательное решение:

x = \( \pi n \), где n ∈ Z.

x = \( \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где n ∈ Z.

Ответ: x = \( \pi n \); x = \( \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где n ∈ Z.