Найди корни уравнения \(\sqrt{3x^2 + 4x - 2} = 1\)

Решение:

Чтобы найти корни уравнения \(\sqrt{3x^2 + 4x - 2} = 1\), необходимо сначала возвести обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{3x^2 + 4x - 2})^2 = 1^2 \]

\[ 3x^2 + 4x - 2 = 1 \]

Теперь перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 3x^2 + 4x - 2 - 1 = 0 \]

\[ 3x^2 + 4x - 3 = 0 \]

Для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулы корней \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

В нашем случае \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -3\).

1. Найдем дискриминант:
   \(D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 16 + 36 = 52\)
2. Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
3. Найдем корни:
   \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + \sqrt{4 \cdot 13}}{6} = \frac{-4 + 2\sqrt{13}}{6} = \frac{-2 + \sqrt{13}}{3}\)
   \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - \sqrt{4 \cdot 13}}{6} = \frac{-4 - 2\sqrt{13}}{6} = \frac{-2 - \sqrt{13}}{3}\)

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В нашем случае \(3x^2 + 4x - 2\). Для \(x = \frac{-2 + \sqrt{13}}{3}\) и \(x = \frac{-2 - \sqrt{13}}{3}\) значение \(3x^2 + 4x - 2 = 1\), что является неотрицательным. Таким образом, оба корня подходят.

Ответ: \(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{13}}{3}\); \(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{13}}{3}\).