Найди наибольшее значение функции f(x) = sin x + 6x π + 5 на отрезке [\frac{\pi}{3}; \pi]. Запиши в поле ответа верное число.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции.
   \( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin x + \frac{6x}{\pi} + 5 \right) \)
   \( f'(x) = \cos x + \frac{6}{\pi} \)
2. Шаг 2: Находим критические точки, приравнивая производную к нулю.
   \( \cos x + \frac{6}{\pi} = 0 \)
   \( \cos x = -\frac{6}{\pi} \)
   Так как \( \pi \approx 3.14 \), то \( \frac{6}{\pi} \approx \frac{6}{3.14} \approx 1.91 \).
   Уравнение \( \cos x = -1.91 \) не имеет решений, так как значение косинуса всегда находится в диапазоне [-1, 1]. Следовательно, критических точек нет.
3. Шаг 3: Вычисляем значения функции на концах отрезка [\( \frac{\pi}{3} \); \( \pi \)].
   
   • При \( x = \frac{\pi}{3} \):
     \( f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) + \frac{6(\frac{\pi}{3})}{\pi} + 5 \)
     \( f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{\pi} + 5 \)
     \( f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 + 5 \)
     \( f(\frac{\pi}{3}) = 7 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 7 + \frac{1.732}{2} \approx 7 + 0.866 \approx 7.866 \)
   • При \( x = \pi \):
     \( f(\pi) = \sin(\pi) + \frac{6\pi}{\pi} + 5 \)
     \( f(\'pi) = 0 + 6 + 5 \)
     \( f(\pi) = 11 \)
4. Шаг 4: Сравниваем полученные значения.
   \( 7.866 \) и \( 11 \).
   Наибольшее значение равно 11.

Ответ: 11