Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 даёт остаток 3, а при делении на 10 даёт остаток 5.

Число при делении на 10 даёт остаток 5, значит, оно оканчивается цифрой 5.

Переберём такие числа и проверим остаток при делении на 7:

\(5:7\) — остаток 5;
\(15:7\) — остаток 1;
\(25:7\) — остаток 4;
\(35:7\) — остаток 0;
\(45:7\) — остаток 3.

Число 45 удовлетворяет обоим условиям: \(45=7\cdot6+3\) и \(45=10\cdot4+5\).

Ответ: 45.