Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно √11.

Привет! Давай разберём эту задачку по геометрии вместе. Нам нужно найти объём правильной четырёхугольной пирамиды.

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида.
• Сторона основания (a) = 2.
• Боковое ребро (l) = \(\sqrt{11}\).

Найти:

• Объём пирамиды (V).

Решение:

Объём пирамиды находится по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]

Где:

• \(S_{осн}\) - площадь основания.
• \(h\) - высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания:

Основание пирамиды — квадрат, так как она правильная четырёхугольная. Площадь квадрата равна стороне в квадрате:

\[ S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4 \]

2. Найдём высоту пирамиды:

Для этого нам понадобится высота боковой грани или апофема. Но у нас есть боковое ребро, и это даже проще! Проведём высоту пирамиды \(h\). Она опустится в центр основания. Центр квадрата — это точка пересечения его диагоналей. Расстояние от центра до середины стороны основания равно половине длины стороны основания, то есть \(a/2 = 2/2 = 1\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• Высотой пирамиды \(h\) (катет).
• Расстоянием от центра основания до середины стороны основания (катет) = 1.
• Боковым ребром \(l\) (гипотенуза) = \(\sqrt{11}\).

По теореме Пифагора:

\[ h^2 + (a/2)^2 = l^2 \]

\[ h^2 + 1^2 = (\sqrt{11})^2 \]

\[ h^2 + 1 = 11 \]

\[ h^2 = 11 - 1 \]

\[ h^2 = 10 \]

\[ h = \sqrt{10} \]

3. Найдём объём пирамиды:

Теперь у нас есть всё необходимое для формулы объёма:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{10} \]

\[ V = \frac{4\sqrt{10}}{3} \]

Ответ:

Объём пирамиды равен \(\frac{4\sqrt{10}}{3}\) кубических единиц.