Найди область определения функции f(x) = √2x + √6-3x

Привет! Давай разберемся, как найти область определения этой функции. Область определения — это все значения x, при которых функция имеет смысл. В нашем случае функция содержит квадратные корни, а под корнем не может быть отрицательного числа. Поэтому нам нужно, чтобы оба выражения под корнями были больше или равны нулю.

Вот наша функция:

• \[ f(x) = \sqrt{2x} + \sqrt{6-3x} \]

Чтобы функция имела смысл, должны выполняться два условия одновременно:

1. \[ 2x \ge 0 \]
2. \[ 6-3x \ge 0 \]

Теперь решим каждое неравенство по очереди.

1. Решаем первое неравенство:

• \[ 2x \ge 0 \]

Чтобы найти x, разделим обе части неравенства на 2. Знак неравенства не меняется, потому что мы делим на положительное число.

• \[ x \ge \frac{0}{2} \]
• \[ x \ge 0 \]

Итак, первое условие выполнено, когда x больше или равен нулю.

2. Решаем второе неравенство:

• \[ 6-3x \ge 0 \]

Сначала перенесем 6 в правую часть, поменяв знак.

• \[ -3x \ge -6 \]

Теперь разделим обе части на -3. Важно помнить, что при делении (или умножении) на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

• \[ x \le \frac{-6}{-3} \]
• \[ x \le 2 \]

Итак, второе условие выполнено, когда x меньше или равен двум.

Объединяем условия:

Нам нужно, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Это значит, что x должен быть больше или равен 0 И одновременно меньше или равен 2.

• \[ x \ge 0 \]
• \[ x \le 2 \]

В итоге мы получаем, что x находится в промежутке от 0 до 2 включительно.

Ответ: Область определения функции — это все значения x, такие что \[ 0 \le x \le 2 \]. В виде промежутка это записывается как \[ [0; 2] \].