Найди область определения функции y = \sqrt{-x^2 - 8x + 9} + \frac{x+12}{x^2+2x}.

Решение:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ):

   Для функции определим два условия:

   • Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$-x^2 - 8x + 9 \ge 0$$
   • Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $$x^2 + 2x
     e 0$$
2. Решение первого неравенства (подкоренное выражение):

   Найдем корни квадратного уравнения $$-x^2 - 8x + 9 = 0$$:

   Умножим на -1: $$x^2 + 8x - 9 = 0$$

   Используем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100$$

   $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{-8 \pm 10}{2}$$

   $$x_1 = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

   $$x_2 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

   Так как ветви параболы $$-x^2 - 8x + 9$$ направлены вниз, то неравенство $$-x^2 - 8x + 9 \ge 0$$ выполняется при $$-9 \le x \le 1$$.

3. Решение второго неравенства (знаменатель):

   Разложим знаменатель на множители:

   $$x^2 + 2x = x(x+2)$$

   Знаменатель не равен нулю, когда $$x
   e 0$$ и $$x+2
   e 0$$ (т.е. $$x
   e -2$$).

4. Объединение условий:

   Учитывая оба условия, получаем:

   • Из первого неравенства: $$x \in [-9; 1]$$
   • Из второго неравенства: $$x
     e 0$$ и $$x
     e -2$$

   Значение $$x=-2$$ уже находится вне интервала $$[-9; 1]$$, поэтому его можно не учитывать.

   Исключаем $$x = 0$$ из интервала $$[-9; 1]$$.

Ответ: $$x \in [-9; 0) \cup (0; 1]$$