Найди область определения функции: y = \sqrt[12]{2x^2 - 7x + 6}.

Решение:

Давай разберем по порядку. Область определения функции, заданной корнем четной степени, определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, нам нужно решить неравенство:

\[2x^2 - 7x + 6 \ge 0\]

Сначала найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю:

\[2x^2 - 7x + 6 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся дискриминантом:

\[D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1\]

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5\]

Теперь у нас есть корни x = 1.5 и x = 2. Разложим квадратный трехчлен на множители:

\[2x^2 - 7x + 6 = 2(x - 1.5)(x - 2)\]

Решим неравенство:

\[2(x - 1.5)(x - 2) \ge 0\] \[(x - 1.5)(x - 2) \ge 0\]

Определим знаки выражения на числовой прямой. Отметим точки 1.5 и 2 на числовой прямой и рассмотрим знаки на интервалах:

1) x < 1.5: (x - 1.5) < 0, (x - 2) < 0, значит (x - 1.5)(x - 2) > 0

2) 1.5 < x < 2: (x - 1.5) > 0, (x - 2) < 0, значит (x - 1.5)(x - 2) < 0

3) x > 2: (x - 1.5) > 0, (x - 2) > 0, значит (x - 1.5)(x - 2) > 0

Таким образом, неравенство выполняется при x \le 1.5 и x \ge 2.

Запишем ответ в виде объединения интервалов:

\[(-\infty; 1.5] \cup [2; +\infty)\]

Ответ: (-∞; 1,5]∪[2; +∞)

Отлично! Ты хорошо справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!