Найди площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² – 2х – 1 и прямой у = -4х + 2. Выбери верный вариант.

Question

Вопрос:

Найди площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² – 2х – 1 и прямой у = -4х + 2. Выбери верный вариант.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Найдем точки пересечения параболы $ y = x^2 - 2x - 1 $ и прямой $ y = -4x + 2 $. Приравняем уравнения: $ x^2 - 2x - 1 = -4x + 2 $
Перенесем все члены в одну сторону: $ x^2 - 2x + 4x - 1 - 2 = 0 $ $ x^2 + 2x - 3 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = -2 $ и $ x_1 · x_2 = -3 $. Корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -3 $.
Найдем площадь фигуры, используя определенный интеграл. Площадь $ S $ равна интегралу от разности верхней и нижней функций по промежутку от $ x_1 $ до $ x_2 $. В данном случае, верхняя функция — прямая, нижняя — парабола.
$ S = ∫_{-3}^{1} ((-4x + 2) - (x^2 - 2x - 1)) dx $
Упростим подынтегральное выражение: $ S = ∫_{-3}^{1} (-4x + 2 - x^2 + 2x + 1) dx $ $ S = ∫_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx $
Вычислим интеграл: $ S = \[ -\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x \]_{-3}^{1} = \[ -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \]_{-3}^{1} $
Подставим пределы интегрирования: $ S = (-\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3 · 1) - (-\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3 · (-3)) $
$ S = (-\frac{1}{3} - 1 + 3) - (-\frac{-27}{3} - 9 - 9) $
$ S = (-\frac{1}{3} + 2) - (9 - 9 - 9) $
$ S = (\frac{5}{3}) - (-9) $
$ S = \frac{5}{3} + 9 $
$ S = \frac{5}{3} + \frac{27}{3} = \frac{32}{3} $

Ответ: $$\frac{32}{3}$$.