Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = x^2 – 2x – 1 и прямой y = -4x + 2.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 - 2x - 1 \) и прямой \( y = -4x + 2 \), сначала найдём точки их пересечения. Приравниваем уравнения:

\( x^2 - 2x - 1 = -4x + 2 \)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\( x^2 - 2x + 4x - 1 - 2 = 0 \)

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета:

\( x_1 + x_2 = -2 \)

\( x_1 \cdot x_2 = -3 \)

Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).

Теперь найдём площадь фигуры, используя определённый интеграл. Площадь \( S \) равна интегралу от разности верхней и нижней функций по пределам интегрирования (точкам пересечения):

\( S = \int_{-3}^{1} ((-4x + 2) - (x^2 - 2x - 1)) dx \)

Упростим подынтегральное выражение:

\( S = \int_{-3}^{1} (-4x + 2 - x^2 + 2x + 1) dx \)

\( S = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-3}^{1} \)

Подставим верхний предел интегрирования:

\( -\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6 - 1}{3} = \frac{5}{3} \)

Подставим нижний предел интегрирования:

\( -\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3 \cdot (-3) = -\frac{-27}{3} - 9 - 9 = 9 - 18 = -9 \)

Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\( S = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3} \)

Ответ: $$\frac{32}{3}$$