Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² – 2x – 1 и прямой y = -4x + 2.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 - 2x - 1 \) и прямой \( y = -4x + 2 \), сначала найдём точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

\[ x^2 - 2x - 1 = -4x + 2 \]\[ x^2 - 2x + 4x - 1 - 2 = 0 \]\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение, чтобы найти x:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь найдём площадь фигуры, используя интеграл:

\[ S = \int_{-3}^{1} ((-4x + 2) - (x^2 - 2x - 1)) dx \]\[ S = \int_{-3}^{1} (-4x + 2 - x^2 + 2x + 1) dx \]\[ S = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 3x \right]_{-3}^{1} \]

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-3}^{1} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ S = \left( -\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3(1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} - 1 + 3 \right) - \left( -\frac{-27}{3} - 9 - 9 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} + 2 \right) - \left( 9 - 9 - 9 \right) \]

\[ S = \left( \frac{-1+6}{3} \right) - (-9) \]

\[ S = \frac{5}{3} + 9 \]

\[ S = \frac{5}{3} + \frac{27}{3} \]

\[ S = \frac{32}{3} \]

Ответ: 32/3.