Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² – 2x - 1 и прямой y = -4x + 2. Выбери верный вариант.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 - 2x - 1 \) и прямой \( y = -4x + 2 \), сначала найдем точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\[ x^2 - 2x - 1 = -4x + 2 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ x^2 - 2x + 4x - 1 - 2 = 0 \]

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь найдем площадь фигуры, используя определенный интеграл. Площадь \( S \) вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по отрезку между точками пересечения:

\[ S = \int_{-3}^{1} ((-4x + 2) - (x^2 - 2x - 1)) dx \]

\[ S = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx \]

Проинтегрируем:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-3}^{1} \]

Вычислим значение интеграла в верхнем и нижнем пределах:

\[ S = \left( -\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3(1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} - 1 + 3 \right) - \left( -\frac{-27}{3} - 9 - 9 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} + 2 \right) - \left( 9 - 18 \right) \]

\[ S = \left( \frac{5}{3} \right) - \left( -9 \right) \]

\[ S = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5}{3} + \frac{27}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ: 32/3