Найди площадь ромба, если его сторона равна 20 мм, а диагональ — 32 мм. Запиши ответ числом.

Решение:

Площадь ромба можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали ромба. Однако, в данной задаче дана сторона ромба и одна диагональ. Мы можем найти вторую диагональ, используя свойство диагоналей ромба: они пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим один из четырёх прямоугольных треугольников, образованных диагоналями и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны половинам диагоналей (\( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \)), а гипотенуза равна стороне ромба (\( a \)).

1. Пусть \( a = 20 \) мм, а \( d_1 = 32 \) мм.
2. Половина первой диагонали равна \( \frac{d_1}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) мм.
3. Используем теорему Пифагора: \( (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 \).
4. Подставим известные значения: \( 16^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 20^2 \).
5. \( 256 + (\frac{d_2}{2})^2 = 400 \).
6. \( (\frac{d_2}{2})^2 = 400 - 256 = 144 \).
7. \( \frac{d_2}{2} = \sqrt{144} = 12 \) мм.
8. Вторая диагональ равна \( d_2 = 2 \cdot 12 = 24 \) мм.
9. Теперь найдём площадь ромба: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 24 \).
10. \( S = 16 \cdot 24 = 384 \) мм².

Ответ: 384 мм².