Найди площадь трапеции MNKL, если высота KQ образует квадрат MNKQ, ∠L = 45°, а площадь треугольника KLQ равна 25 дм².

1. Обозначения:
   • Трапеция MNKL, где MN || KL.
   • KQ – высота трапеции, образующая квадрат MNKQ. Это означает, что MN = NK = KQ = MQ.
   • ∠L = 45°.
   • Площадь треугольника KLQ равна 25 дм².
2. Анализ треугольника KLQ:

   Треугольник KLQ – прямоугольный, так как KQ – высота. Поскольку ∠L = 45°, то и ∠LKQ = 45°. Значит, треугольник KLQ равнобедренный, и KQ = QL.

3. Находим длину KQ:

   Площадь треугольника KLQ равна 25 дм². Формула площади треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота$$. В нашем случае: $$S_{KLQ} = \frac{1}{2} \cdot KQ \cdot QL$$. Так как KQ = QL, то $$25 = \frac{1}{2} \cdot KQ^2$$. Отсюда $$KQ^2 = 50$$, и $$KQ = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ дм.

4. Находим длину KL:

   Так как KQ = QL = $$5\sqrt{2}$$ дм, то KL можно найти по теореме Пифагора: $$KL^2 = KQ^2 + QL^2 = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 50 + 50 = 100$$. Следовательно, $$KL = \sqrt{100} = 10$$ дм.

5. Находим площадь трапеции MNKL:

   Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot (MN + KL) \cdot KQ$$. В нашем случае MN = KQ = $$5\sqrt{2}$$ дм, KL = 10 дм. Тогда: $$S_{MNKL} = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2} + 10) \cdot 5\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot (50 + 50\sqrt{2}) = 25 + 25\sqrt{2}$$.

6. Упрощаем выражение:

   $$S_{MNKL} = 25 + 25\sqrt{2} \approx 25 + 25 \cdot 1.41 = 25 + 35.25 = 60.25$$ дм².

Площадь трапеции примерно равна 85 дм^2