Найди произведение корней уравнения: y/3 + y^2/(y+5) = 4. Запиши в поле ответа верное число.

Решение:

У нас есть дробно-рациональное уравнение: \[ \frac{y}{3} + \frac{y^2}{y+5} = 4 \]

1. Приведем к общему знаменателю:

   Общий знаменатель для 3 и (y+5) будет 3(y+5). Умножим каждое слагаемое на него:

   \[ \frac{y \cdot 3(y+5)}{3(y+5)} + \frac{y^2  3}{3(y+5)} = \frac{4  3(y+5)}{3(y+5)} \]

   Упростим:

   \[ y(y+5) + 3y^2 = 12(y+5) \]

2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

   \[ y^2 + 5y + 3y^2 = 12y + 60 \]

   \[ 4y^2 + 5y = 12y + 60 \]

3. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

   \[ 4y^2 + 5y - 12y - 60 = 0 \]

   \[ 4y^2 - 7y - 60 = 0 \]

4. Найдем произведение корней квадратного уравнения.

   Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, произведение корней (x_1  x_2) равно c/a.

   В нашем уравнении: a = 4, b = -7, c = -60.

   Произведение корней =  =  = .

5. Проверка ОДЗ:

   Знаменатель y+5 не должен быть равен нулю, то есть y  -5.

   Найдем корни, чтобы убедиться, что -5 не является корнем.

   Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(4)(-60) = 49 + 960 = 1009.

   Корни: y_1 = (7 + √1009) / 8 и y_2 = (7 - √1009) / 8. Ни один из корней не равен -5.

Ответ: -15