Найди производную (x^3 / (x+1))'

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x^3}{x+1} \) используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = x^3 \) и \( v = x+1 \).

1. Найдём производную числителя: \( u' = (x^3)' = 3x^2 \).
2. Найдём производную знаменателя: \( v' = (x+1)' = 1 \).
3. Подставим найденные значения в формулу производной частного: \[ \left(\frac{x^3}{x+1}\right)' = \frac{(3x^2)(x+1) - (x^3)(1)}{(x+1)^2} \]
4. Раскроем скобки в числителе: \[ = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3}{(x+1)^2} \]
5. Упростим числитель: \[ = \frac{2x^3 + 3x^2}{(x+1)^2} \]

Вынесем \( x^2 \) за скобки в числителе:

\[ = \frac{x^2(2x + 3)}{(x+1)^2} \]

Ответ: $$\frac{2x^3 + 3x^2}{(x+1)^2}$$