Найди разность (из большего корня вычти меньший корень уравнения), сумму и произведение корней квадратного уравнения x² + 24x + 80 = 0.

Решение:

Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) и произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

В данном уравнении \( x^2 + 24x + 80 = 0 \):

• \( a = 1 \)
• \( b = 24 \)
• \( c = 80 \)

1. Сумма корней:

\( x_1 + x_2 = -\frac{24}{1} = -24 \)

2. Произведение корней:

\( x_1 \cdot x_2 = \frac{80}{1} = 80 \)

3. Разность корней:

Сначала найдём сами корни. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256 \]

Корень из дискриминанта \( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20 \]

Больший корень \( -4 \), меньший корень \( -20 \).

Разность: \( x_{больший} - x_{меньший} = -4 - (-20) = -4 + 20 = 16 \).

Альтернативный способ найти разность корней:

\( (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \)

\[ (x_1 - x_2)^2 = (-24)^2 - 4 \cdot 80 = 576 - 320 = 256 \]

\[ x_1 - x_2 = \sqrt{256} = 16 \] (Так как мы вычитаем из большего корня меньший, результат будет положительным)

Ответ: x₁ - x₂ = 16; x₁ + x₂ = -24; x₁ · x₂ = 80.