Найди разность выражений: x³ - 2x / x + 1 + 2x² - x - 1 / x² - 1 + x и x².

Решение:

Нам нужно найти разность двух выражений:

\( \left( \frac{x^3 - 2x}{x + 1} + \frac{2x^2 - x - 1}{x^2 - 1} + x \right) - x^2 \)

Сначала упростим дробь \( \frac{2x^2 - x - 1}{x^2 - 1} \). Знаменатель \( x^2 - 1 \) можно разложить как \( (x-1)(x+1) \). Числитель \( 2x^2 - x - 1 \) можно разложить на множители, найдя корни квадратного трёхчлена. Корни \( x = 1 \) и \( x = -1/2 \). Значит, \( 2x^2 - x - 1 = 2(x-1)(x+1/2) = (x-1)(2x+1) \).

Тогда дробь равна \( \frac{(x-1)(2x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x+1}{x+1} \).

Теперь подставим это обратно в выражение:

\( \frac{x^3 - 2x}{x + 1} + \frac{2x+1}{x+1} + x - x^2 \)

Сложим первые две дроби, так как у них общий знаменатель \( x+1 \):

\( \frac{x^3 - 2x + 2x + 1}{x + 1} + x - x^2 = \frac{x^3 + 1}{x + 1} + x - x^2 \)

Знаменатель \( x^3 + 1 \) можно разложить как сумму кубов: \( (x+1)(x^2 - x + 1) \).

\( \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{x + 1} + x - x^2 = (x^2 - x + 1) + x - x^2 \)

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\( x^2 - x + 1 + x - x^2 = 1 \)

Таким образом, разность выражений равна 1.

Ответ: 1