Найди стороны треугольника DEF, если ∠D = 45°, ∠E = 30°, а высота DH = 4. Ответ: DE = ___, DF = ___, EF = ___.

Сначала найдём третий угол: \(\angle F=180°-45°-30°=105°\).

Высота \(DH\) вместе со стороной \(DE\) образует прямоугольный треугольник, в котором \(\angle E=30°\). Поэтому \(\sin 30°=DH/DE\), откуда \(DE=4/(1/2)=8\).

По теореме синусов: \(DF/\sin 30°=DE/\sin 105°\). Так как \(\sin 105°=(\sqrt6+\sqrt2)/4\), получаем \(DF=8\cdot(1/2)/\sin105°=4(\sqrt6-\sqrt2)\).

Снова по теореме синусов: \(EF/\sin45°=DE/\sin105°\). Тогда \(EF=8\cdot\sin45°/\sin105°=4(\sqrt3-1)\).

Ответ: \(DE=8\), \(DF=4(\sqrt6-\sqrt2)\), \(EF=4(\sqrt3-1)\).