Найди сумму данных векторов. Используй параллелепипед и повтори знания о векторах в плоскости. 1. BC + CD + DD1 + D1C1 = ? 2. AA1 + DC + C1D = ? 3. CC1 + DA + BA + B1C = ?

Решение:

В данном задании необходимо найти сумму векторов, используя свойства параллелепипеда.

1. 1. $$\vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1}$$

   Применяем правило сложения векторов: \(\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}\). Затем: \(\vec{BD} + \vec{DD_1} = \vec{BD_1}\). И наконец: \(\vec{BD_1} + \vec{D_1C_1} = \vec{BC_1}\).

2. 2. $$\vec{AA_1} + \vec{DC} + \vec{C_1D}$$

   По свойству параллелепипеда, \(\vec{AA_1} = \vec{DD_1}\) и \(\vec{DC} = \vec{A_1B_1}\). Также \(\vec{C_1D} = -\vec{DC} = -\vec{A_1B_1}\). Тогда сумма векторов равна: \(\vec{AA_1} + \vec{DC} + \vec{C_1D} = \vec{AA_1} + \vec{A_1B_1} - \vec{A_1B_1} = \vec{AA_1}\).

3. 3. $$\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C}$$

   Заменим векторы на равные им: \(\vec{DA} = \vec{CB}\) и \(\vec{BA} = \vec{CD}\). Тогда: \(\vec{CC_1} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{B_1C}\). По свойству параллелепипеда \(\vec{CC_1} = \vec{DD_1}\). Также \(\vec{CB} + \vec{CD} = \vec{CB'}\) (где B' — вершина, дополняющая ABCD до параллелограмма). Это не упрощает задачу. Попробуем иначе. \(\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1}\) и \(\vec{B_1C}\) — векторы, идущие от основания к верхней грани. \(\vec{DA}\) и \(\vec{BA}\) — векторы на основании. \(\vec{DA} + \vec{BA} = \vec{DA'} \) (где A' — конец вектора, исходящего из D). \(\vec{CC_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1} = \vec{DD_1}\). \(\vec{B_1C}\). Рассмотрим \(\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C}\). \(\vec{DA} = -\vec{AD}\). \(\vec{BA} = -\vec{AB}\). \(\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C} = \vec{CC_1} - \vec{AD} - \vec{AB} + \vec{B_1C}\). Поскольку \(\vec{AD} = \vec{BC}\) и \(\vec{AB} = \vec{DC}\), то \(\vec{CC_1} - \vec{BC} - \vec{DC} + \vec{B_1C}\). Воспользуемся тем, что \(\vec{A_1B_1} = \vec{DC}\), \(\vec{A_1D_1} = \vec{BC}\). \(\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C} = \vec{CC_1} + (-\vec{AD}) + (-\vec{AB}) + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1} + (-\vec{BC}) + (-\vec{DC}) + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1} - \vec{BC} - \vec{DC} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1} - \vec{A_1D_1} - \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C}\). Это не упрощается. Попробуем воспользоваться свойством, что сумма векторов, исходящих из одной точки и образующих замкнутый контур, равна нулевому вектору. \(\vec{CC_1} + \vec{C_1B_1} + \vec{B_1A_1} + \vec{A_1C} \). Не то. \(\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C}\). \(\vec{DA} + \vec{BA} = \vec{DA'} \). \(\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C}\). \(\vec{DA} = \vec{CB}\). \(\vec{BA} = \vec{CD}\). \(\vec{CC_1} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CB} + \vec{CD} = \vec{CB'}\). \(\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C}\). \(\vec{DA} = \vec{C_1B_1}\). \(\vec{BA} = \vec{D_1C_1}\). \(\vec{CC_1} + \vec{C_1B_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1} + \vec{C_1B_1} = \vec{CB_1}\). \(\vec{D_1C_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CB_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{D_1C_1} = \vec{A_1B_1}\). \(\vec{CB_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CB_1} + \vec{A_1C}\). Не получается. Попробуем по-другому. \(\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C}\). \(\vec{DA} = -\vec{AD}\). \(\vec{BA} = -\vec{AB}\). \(\vec{CC_1} - \vec{AD} - \vec{AB} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1} - \vec{BC} - \vec{DC} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1} - \vec{BC} - \vec{DC} + \vec{AA_1}\) (так как \(\vec{B_1C} = \vec{AA_1}\)). \(\vec{CC_1} - \vec{BC} - \vec{DC} + \vec{AA_1}\). \(\vec{CC_1} = \vec{DD_1}\). \(\vec{DD_1} - \vec{BC} - \vec{DC} + \vec{AA_1}\). \(\vec{DD_1} - \vec{A_1D_1} - \vec{A_1B_1} + \vec{AA_1}\). \(\vec{DD_1} + \vec{D_1A_1} + \vec{B_1A_1} + \vec{AA_1}\) (так как \(-\vec{A_1D_1} = \vec{D_1A_1}\) и \(-\vec{A_1B_1} = \vec{B_1A_1}\)). \(\vec{DD_1} + \vec{D_1A_1} = \vec{DA_1}\). \(\vec{DA_1} + \vec{B_1A_1} + \vec{AA_1}\). \(\vec{DA_1} + \vec{B_1A_1}\). \(\vec{DA_1}\) и \(\vec{B_1A_1}\). \(\vec{DA_1} + \vec{B_1A_1} = \vec{DA_1'} \). \(\vec{DA_1} + \vec{B_1A_1} + \vec{AA_1}\). \(\vec{B_1A_1} + \vec{AA_1} = \vec{B_1A_1'} \). \(\vec{DA_1} + \vec{B_1A_1'} \).
   
   Перепишем: \(\vec{CC_1} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{B_1C}\). \(\vec{DA} = \vec{C_1B_1}\). \(\vec{BA} = \vec{D_1C_1}\). \(\vec{CC_1} + \vec{C_1B_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{CC_1} + \vec{C_1B_1} = \vec{CB_1}\). \(\vec{D_1C_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{D_1C_1} = \vec{A_1B_1}\). \(\vec{CB_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{A_1B_1} + \vec{B_1C}\) — сумма векторов, исходящих из \(B_1\). \(\vec{A_1B_1} + \vec{B_1C}\) не равны. \(\vec{CB_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C}\). \(\vec{A_1B_1} + \vec{B_1C} = \vec{A_1C}\). \(\vec{CB_1} + \vec{A_1C}\). \(\vec{CB_1} = \vec{DA_1}\). \(\vec{DA_1} + \vec{A_1C}\) = \(\vec{DC_1}\).

Ответ: 1. $$\vec{BC_1}$$; 2. $$\vec{AA_1}$$; 3. $$\vec{DC_1}$$.