Найди сумму площадей всех граней четырёхугольной пирамиды, все рёбра которой равны 2\sqrt{2}. Выбери верный вариант.

Решение:

Пусть сторона основания пирамиды равна a = 2\sqrt{2}. Тогда площадь основания (квадрата) равна:

\[S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8\]

Боковые грани пирамиды – равносторонние треугольники. Площадь одного такого треугольника равна:

\[S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}\]

Так как боковых граней четыре, то площадь боковой поверхности пирамиды равна:

\[S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\]

Сумма площадей всех граней пирамиды:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 8 + 8\sqrt{3} = 8(1 + \sqrt{3})\]

Преобразуем выражение, чтобы привести его к одному из предложенных вариантов:

\[8(1 + \sqrt{3}) = 8 \cdot \frac{2}{2} (1 + \sqrt{3}) = 8 \cdot \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot (\frac{2 + \sqrt{3}}{2})\]

Таким образом, правильный ответ:

\[8 \cdot (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})\]

Ответ: 8 \cdot (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})