Найди сумму выражений: $$\frac{5a^2}{a^2-9} + \frac{42a+81}{a^2-9} - \frac{a^3+5a}{a+3}$$

Решение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю:

   Знаменатель первой дроби $$a^2-9$$ можно разложить как разность квадратов: $$(a-3)(a+3)$$.

   Знаменатель второй дроби $$a^2-9 = (a-3)(a+3)$$.

   Знаменатель третьей дроби $$a+3$$. Общий знаменатель — $$(a-3)(a+3)$$.

2. Перепишем выражения с общим знаменателем:

   $$\frac{5a^2}{(a-3)(a+3)} + \frac{42a+81}{(a-3)(a+3)} - \frac{(a^3+5a)(a-3)}{(a+3)(a-3)}$$

3. Сложим и вычтем числители:

   $$5a^2 + 42a + 81 - (a^3+5a)(a-3)$$

   $$= 5a^2 + 42a + 81 - (a^4 - 3a^3 + 5a^2 - 15a)$$

   $$= 5a^2 + 42a + 81 - a^4 + 3a^3 - 5a^2 + 15a$$

   $$= -a^4 + 3a^3 + 57a + 81$$

4. Итоговое выражение:

   $$\frac{-a^4 + 3a^3 + 57a + 81}{(a-3)(a+3)}$$

Ответ: $$\frac{-a^4 + 3a^3 + 57a + 81}{a^2-9}$$