Найди углы равнобедренного треугольника MNK с основанием MK, если KS – биссектриса этого треугольника, точка S ∈ MN, ∠MSK = 102°. Заполни пропуски числами.

Решение:

В равнобедренном треугольнике MNK основанием является MK. Значит, MN = NK и углы при основании равны: \( \angle M = \angle K \).

KS — биссектриса \( \angle MKN \). Значит, \( \angle MKS = \angle NKS \).

Точка S лежит на стороне MN.

Рассмотрим треугольник MSK. Угол \( \angle MSK = 102^{\circ} \).

Угол \( \angle KSM \) смежный с углом \( \angle MSK \). Значит, \( \angle KSM = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

В треугольнике MNK: \( \angle M + \angle N + \angle K = 180^{\circ} \).

Так как \( \angle M = \angle K \), то \( 2\angle M + \angle N = 180^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник KSN. \( \angle KSN = \angle MSK = 102^{\circ} \) (вертикальные углы, если бы S была на пересечении диагоналей, но S на стороне MN). Это не так.

Из условия \( \angle MSK = 102^{\circ} \).

В треугольнике KSN: \( \angle KSN \) — внешний угол треугольника MSK. Но S лежит на MN, поэтому \( \angle KSN \) не является внешним для \( \triangle MSK \).

Рассмотрим \( \triangle KSN \). Угол \( \angle S = 180^{\circ} - \angle KSN \) (смежные).

Поскольку \( \angle MSK = 102^{\circ} \), то \( \angle KSM = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \). Это угол \( \angle KSM \) внутри \( \triangle MSK \).

Угол \( \angle NKS = \angle MKS \) (KS — биссектриса).

В \( \triangle MSK \): \( \angle M + \angle MKS + \angle MSK = 180^{\circ} \) \( \implies \angle M + \angle MKS + 102^{\circ} = 180^{\circ} \) \( \implies \angle M + \angle MKS = 78^{\circ} \).

В \( \triangle KSN \): \( \angle N + \angle NKS + \angle KSN = 180^{\circ} \).

Так как \( \angle M = \angle K \) и \( \angle MKS = \angle NKS \), то \( \angle K = \angle MKS + \angle NKS = 2 \angle MKS \).

Значит, \( \angle MKS = \angle K / 2 \).

Подставляем в \( \triangle MSK \) уравнение: \( \angle M + \angle K / 2 = 78^{\circ} \).

Также \( \angle M = \angle K \).

Получаем: \( \angle K + \angle K / 2 = 78^{\circ} \) \( \implies \frac{3}{2} \angle K = 78^{\circ} \) \( \implies \angle K = 78^{\circ} \cdot \frac{2}{3} = 52^{\circ} \).

Итак, \( \angle M = \angle K = 52^{\circ} \).

Теперь найдём \( \angle N \): \( \angle N = 180^{\circ} - 2 \angle M = 180^{\circ} - 2 \cdot \cdot 52^{\circ} = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

Проверим: \( 52^{\circ} + 52^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ} \).

Найдем \( \angle MKS \): \( \angle MKS = \angle K / 2 = 52^{\circ} / 2 = 26^{\circ} \).

В \( \triangle MSK \): \( \angle M = 52^{\circ} \), \( \angle MKS = 26^{\circ} \), \( \angle MSK = 180^{\circ} - 52^{\circ} - 26^{\circ} = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

Это совпадает с условием.

Ответ: \( \angle M = 52^{\circ} \), \( \angle N = 76^{\circ} \), \( \angle K = 52^{\circ} \).