Найди угол между касательной к графику функции f(x) = 5/x + x^2 в точке x0 = 3 и положительным направлением оси Ox.

Решение:

Для нахождения угла между касательной и положительным направлением оси Ox, нам нужно найти тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания.

1. Найдем производную функции \( f(x) = \frac{5}{x} + x^2 \).
2. \( f'(x) = -\frac{5}{x^2} + 2x \)
3. Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 3 \):
4. \( f'(3) = -\frac{5}{3^2} + 2 \cdot 3 = -\frac{5}{9} + 6 = \frac{-5 + 54}{9} = \frac{49}{9} \)
5. Тангенс искомого угла равен \( \text{tg}(\alpha) = f'(3) = \frac{49}{9} \).
6. Угол \( \alpha \) находится как арктангенс этого значения: \( \alpha = \text{arctg}\left(\frac{49}{9}\right) \).

Ответ: \( \text{arctg}\left(\frac{49}{9}\right) \).