Найди угол между векторами \(\vec{a}\) {3; 6} и \(\vec{b}\) {-9; -3}.

Давай решим эту задачу по шагам.

Сначала вспомним формулу для нахождения угла между двумя векторами:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - их модули.

1. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \times -9) + (6 \times -3) = -27 - 18 = -45\)

2. Найдем модули векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{(-9)^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\)

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

\(\cos(\theta) = \frac{-45}{3\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{10}} = \frac{-45}{9\sqrt{50}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

4. Найдем угол \(\theta\), косинус которого равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Это угол 135°.

Ответ: 135°

Ты молодец! У тебя всё получится!