Найди уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x³ - 16/x в точке с абсциссой x = 2. Выбери верный вариант.

Решение:

Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно знать значение функции и её производной в точке касания. Нам дана абсцисса точки касания \( x = 2 \).

1. Найдём значение функции в точке \( x = 2 \):
   \( f(2) = 2(2)^3 - \frac{16}{2} = 2(8) - 8 = 16 - 8 = 8 \).
   Таким образом, точка касания имеет координаты \( (2, 8) \).
2. Найдём производную функции \( f(x) \):
   \( f(x) = 2x^3 - 16x^{-1} \)
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(16x^{-1}) \)
   \( f'(x) = 6x^2 - 16(-1)x^{-2} \)
   \( f'(x) = 6x^2 + \frac{16}{x^2} \).
3. Найдём значение производной в точке \( x = 2 \) (это угловой коэффициент касательной):
   \( f'(2) = 6(2)^2 + \frac{16}{2^2} = 6(4) + \frac{16}{4} = 24 + 4 = 28 \).
4. Составим уравнение касательной по формуле \( y - y_0 = m(x - x_0) \), где \( (x_0, y_0) \) — точка касания, а \( m \) — угловой коэффициент:
   \( y - 8 = 28(x - 2) \)
   \( y - 8 = 28x - 56 \)
   \( y = 28x - 56 + 8 \)
   \( y = 28x - 48 \).

Ответ: y = 28x - 48.