Найди значение х, при котором f'(x) = 0, зная, что f(x) = x / (x^2 + 4). Если ответов несколько, запиши их сумму. Запиши в поле ответа верное целое число или десятичную дробь.

Решение:

Сначала найдём производную функции \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} \) с помощью правила дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = x \) и \( v = x^2 + 4 \). Тогда \( u' = 1 \) и \( v' = 2x \).

\( f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 4) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{x^2 + 4 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2} \).

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти значения \( x \):

\( f'(x) = 0 \)

\( \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2} = 0 \)

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель \( (x^2 + 4)^2 \) всегда больше нуля, так как \( x^2 \ge 0 \).

\( 4 - x^2 = 0 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \).

Таким образом, есть два значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \): \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -2 \).

По условию задачи, если ответов несколько, нужно записать их сумму.

Сумма значений \( x \): \( 2 + (-2) = 0 \).

Ответ: 0.