Найди значение предела: lim x³ + 729/ x→-9 x² + 16x + 63

Ответ: -81/2

Разбираемся:

Нам нужно вычислить предел:

\[\lim_{x \to -9} \frac{x^3 + 729}{x^2 + 16x + 63}\]

Заметим, что при x = -9 числитель и знаменатель равны нулю, поэтому мы имеем неопределенность вида 0/0 . Чтобы её раскрыть, разложим числитель и знаменатель на множители.

Шаг 1: Разложим числитель

Используем формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) . В нашем случае a = x и b = 9 , так как 9³ = 729 .

Тогда:

\[x^3 + 729 = (x + 9)(x^2 - 9x + 81)\]

Шаг 2: Разложим знаменатель

Решим квадратное уравнение x² + 16x + 63 = 0 .

Ищем корни уравнения вида x² + 16x + 63 = 0 . Для этого найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4\]

Так как D > 0 , у нас два различных корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-16 + 2}{2} = -7\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-16 - 2}{2} = -9\]

Тогда знаменатель раскладывается как:

\[x^2 + 16x + 63 = (x + 7)(x + 9)\]

Шаг 3: Упростим предел

Теперь мы можем переписать предел:

\[\lim_{x \to -9} \frac{(x + 9)(x^2 - 9x + 81)}{(x + 7)(x + 9)}\]

Сократим общий множитель (x + 9) :

\[\lim_{x \to -9} \frac{x^2 - 9x + 81}{x + 7}\]

Шаг 4: Вычислим предел

Подставим x = -9 в упрощенное выражение:

\[\frac{(-9)^2 - 9(-9) + 81}{-9 + 7} = \frac{81 + 81 + 81}{-2} = \frac{243}{-2} = -\frac{243}{2}\]

Итоговый ответ:

\[-\frac{243}{2}\]

Но, в условии уже есть минус, и нужно записать ответ в виде двух чисел, значит:

\[\frac{243}{2} = \frac{81 \cdot 3}{2}\]

Ответ: -81/2