8. Найди значение выражения √12 ⋅ 2⁴ ⋅ √12 ⋅ 3².

Ответ: 144

Рассмотрим выражение: \[\sqrt{12 \cdot 2^4} \cdot \sqrt{12 \cdot 3^2}\]

Преобразуем выражение:

Шаг 1: Упростим выражение под каждым квадратным корнем.

Разложим 12 на простые множители: \[12 = 2^2 \cdot 3\]

Тогда выражение примет вид:\[\sqrt{2^2 \cdot 3 \cdot 2^4} \cdot \sqrt{2^2 \cdot 3 \cdot 3^2}\]

Шаг 2: Сгруппируем степени двойки и тройки.

\[\sqrt{2^{2+4} \cdot 3} \cdot \sqrt{2^2 \cdot 3^{1+2}}\]\[\sqrt{2^6 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^2 \cdot 3^3}\]

Шаг 3: Извлечем квадратные корни.

Напомним, что \[\sqrt{a^2} = a\]

Тогда выражение примет вид:\[2^3 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}\]

Шаг 4: Упростим выражение, перемножив числа и корни.

\[2^3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\]\[2^4 \cdot 3 \cdot (\sqrt{3})^2\]\[16 \cdot 3 \cdot 3\]\[16 \cdot 9\]\[144\]

Ответ: 144