17. Найди значение выражения \frac{1}{\sqrt{x} + 7} - \frac{1}{\sqrt{x} - 7}, если х = 50.

Решение:

• Шаг 1: Подставим значение x = 50 в выражение: \[\frac{1}{\sqrt{50} + 7} - \frac{1}{\sqrt{50} - 7}\]
• Шаг 2: Упростим \(\sqrt{50}\). Так как \(50 = 25 \cdot 2\), то \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\). Получаем: \[\frac{1}{5\sqrt{2} + 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} - 7}\]
• Шаг 3: Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: \((5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)\). Тогда: \[\frac{(5\sqrt{2} - 7) - (5\sqrt{2} + 7)}{(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)}\]
• Шаг 4: Упростим числитель: \[\frac{5\sqrt{2} - 7 - 5\sqrt{2} - 7}{(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)} = \frac{-14}{(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)}\]
• Шаг 5: Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\). Тогда: \[(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1\]
• Шаг 6: Получаем: \[\frac{-14}{1} = -14\]