Найди значение выражения: $$\frac{3x^{-2}}{2-x^{-2}}-\frac{3x^{-2}}{2+x^{-2}}$$ при $$x = 0,1^{-1}$$. Ответ (вводи в виде сокращённой дроби): $$\frac{3x^{-2}}{2-x^{-2}}-\frac{3x^{-2}}{2+x^{-2}} = \frac{\boxed{}}{\boxed{}}$$ Запиши, чему равен $$x$$ после вычисления: $$x = 0,1^{-1} = \boxed{}$$.

Решение:

Сначала упростим выражение:

1. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{3x^{-2}}{2-x^{-2}}-\frac{3x^{-2}}{2+x^{-2}} = \frac{3x^{-2}(2+x^{-2}) - 3x^{-2}(2-x^{-2})}{(2-x^{-2})(2+x^{-2})} \)


2. Раскроем скобки в числителе: \( = \frac{6x^{-2} + 3x^{-4} - 6x^{-2} + 3x^{-4}}{4 - x^{-4}} \)


3. Упростим числитель: \( = \frac{6x^{-4}}{4 - x^{-4}} \)


4. Разделим числитель и знаменатель на \( x^{-4} \) (или умножим на \( x^4 \) ): \( = \frac{6x^{-4}x^4}{(4 - x^{-4})x^4} = \frac{6}{4x^4 - 1} \)

Теперь вычислим значение \( x \):

1. \( x = 0,1^{-1} = \frac{1}{0,1} = 10 \)


2. Подставим \( x=10 \) в упрощённое выражение: \( \frac{6}{4(10)^4 - 1} = \frac{6}{4 \times 10000 - 1} = \frac{6}{40000 - 1} = \frac{6}{39999} \)


3. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{6 dash 3}{39999 dash 3} = \frac{2}{13333} \)

Заполним пропуски в задании:

Ответ (вводи в виде сокращённой дроби):

\(\frac{3x^{-2}}{2-x^{-2}}-\frac{3x^{-2}}{2+x^{-2}} = \frac{\boxed{6x^{-4}}}{\boxed{4-x^{-4}}}\) (или \(\frac{6}{4x^4-1}\)).

Запиши, чему равен \( x \) после вычисления:

\( x = 0,1^{-1} = \boxed{10} \).

Ответ: \(\frac{2}{13333}\)