Найди значение выражения $$\frac{b^{-5}(b^2)^7}{b^{20} \cdot (b^{-2})^3}$$ при $$b = 3^{-1}$$.

Привет! Давай разберемся с этим выражением по шагам.

1. Упростим числитель:

   В числителе у нас $$(b^2)^7$$. При возведении степени в степень, показатели перемножаются: $$b^{2 \times 7} = b^{14}$$.

   Теперь числитель выглядит так: $$b^{-5} \cdot b^{14}$$. При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: $$b^{-5 + 14} = b^9$$.

2. Упростим знаменатель:

   В знаменателе у нас $$(b^{-2})^3$$. Аналогично, перемножаем показатели: $$b^{-2 \times 3} = b^{-6}$$.

   Теперь знаменатель выглядит так: $$b^{20} \cdot b^{-6}$$. Складываем показатели: $$b^{20 + (-6)} = b^{14}$$.

3. Разделим упрощенный числитель на знаменатель:

   У нас получилось $$\frac{b^9}{b^{14}}$$. При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя числителя вычитается показатель знаменателя: $$b^{9 - 14} = b^{-5}$$.

4. Подставим значение $$b$$:

   Нам дано, что $$b = 3^{-1}$$. То есть, $$b = \frac{1}{3}$$.

   Теперь нужно найти значение $$b^{-5}$$. Это равносильно $$(\frac{1}{3})^{-5}$$.

   При возведении дроби в отрицательную степень, дробь переворачивается, а показатель становится положительным: $$(\frac{1}{3})^{-5} = 3^5$$.

5. Вычислим $$3^5$$:

   $$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 \times 3 = 81 \times 3 = 243$$.

Ответ: 243