Найди значение выражения при а = 2⁻¹.

Решение:

Дано выражение: \( \frac{a^{-6}(a^3)^3}{a^{-4} \cdot (a^3)^5} \)

1. Упростим числитель, используя свойство степеней \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \): \( (a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9 \).
2. Тогда числитель станет: \( a^{-6} \cdot a^9 \). Используя свойство степеней \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \), получим: \( a^{-6+9} = a^3 \).
3. Упростим знаменатель, используя свойство степеней \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \): \( (a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15} \).
4. Тогда знаменатель станет: \( a^{-4} \cdot a^{15} \). Используя свойство степеней \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \), получим: \( a^{-4+15} = a^{11} \).
5. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^3}{a^{11}} \). Используя свойство степеней \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \), получим: \( a^{3-11} = a^{-8} \).
6. Подставим значение \( a = 2^{-1} \): \( (2^{-1})^{-8} \).
7. Используя свойство степеней \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \), получим: \( 2^{(-1) \cdot (-8)} = 2^8 \).
8. Вычислим значение: \( 2^8 = 256 \).

Ответ: 256