Найди значения х, при которых f'(x) = 0, зная, что f(x) = √x · (2x + 24). Если ответов несколько, запиши их сумму. Запиши в поле ответа верное целое число или десятичную дробь.

Решение:

Для начала найдем производную функции f(x) = \(\sqrt{x} \cdot (2x + 24)\). Используем правило произведения:

• \(f(x) = x^{1/2} \cdot (2x + 24)\)
• \(f'(x) = (x^{1/2})' \cdot (2x + 24) + x^{1/2} \cdot (2x + 24)'\)
• \(f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} \cdot (2x + 24) + x^{1/2} \cdot 2\)
• \(f'(x) = \frac{2x + 24}{2\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}\)
• \(f'(x) = \frac{x + 12}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}\)

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти значения x:

• \(\frac{x + 12}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} = 0\)
• Приведем к общему знаменателю \(\sqrt{x}\):
• \(\frac{x + 12 + 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 0\)
• \(\frac{x + 12 + 2x}{\sqrt{x}} = 0\)
• \(\frac{3x + 12}{\sqrt{x}} = 0\)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Также учтем, что под корнем должно быть неотрицательное число, то есть \(x \ge 0\), и знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(x
eq 0\). Следовательно, \(x > 0\).

• \(3x + 12 = 0\)
• \(3x = -12\)
• \(x = -4\)

Однако, значение \(x = -4\) не удовлетворяет условию \(x > 0\) (так как \(\sqrt{x}\) должно быть определено). Это означает, что при \(x > 0\) производная \(f'(x)\) никогда не равна нулю.

Давайте перепроверим вычисления. Возможно, имелось в виду, что \(f'(x) = 0\) в области определения функции. Область определения \(f(x) = \sqrt{x} \cdot (2x + 24)\) - это \(x \ge 0\).

Рассмотрим случай, когда \(x=0\). В точке \(x=0\) производная \(f'(x)\) не определена, так как появляется \(\sqrt{x}\) в знаменателе. Однако, сама функция \(f(0) = \sqrt{0} · (2 \u00B7 0 + 24) = 0\).

Вернемся к уравнению \(\frac{3x + 12}{\sqrt{x}} = 0\). Мы получили \(x = -4\), что не входит в область определения \(x \ge 0\).

Рассмотрим функцию \(f(x) = \sqrt{x}(2x+24)\). Производная \(f'(x) = \frac{x+12}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}\).

Если \(x > 0\), то \(x+12 > 0\) и \(\sqrt{x} > 0\), значит \(\frac{x+12}{\sqrt{x}} > 0\). Также \(2\sqrt{x} > 0\). Таким образом, \(f'(x) > 0\) для всех \(x > 0\).

Следовательно, производная \(f'(x)\) никогда не равна нулю при \(x > 0\).

Возможно, задача подразумевала, что \(f'(x) = 0\) при \(x=0\) в смысле односторонней производной, или что в точке \(x=0\) функция имеет экстремум. Однако, формально, \(f'(0)\) не существует.

Если предположить, что есть ошибка в условии или в нашем понимании, и попробовать найти корни другим способом.

Перепишем \(f'(x)\) как:

• \(f'(x) = \frac{x+12+2x}{\sqrt{x}} = \frac{3x+12}{\sqrt{x}}\).

Единственное значение, которое могло бы обратиться числитель в ноль, это \(x=-4\), но оно не входит в область определения \(x > 0\).

Проверим условие задачи еще раз: \(f(x) = \sqrt{x} · (2x + 24)\). Найди значения \(x\), при которых \(f'(x) = 0\).

Давайте рассмотрим случай, когда \(2x + 24 = 0\), то есть \(x = -12\). Но \(\sqrt{x}\) не определено при \(x = -12\).

Проверим, не было ли ошибки в дифференцировании:

• \(f(x) = 2x·√{x} + 24·√{x} = 2x^{3/2} + 24x^{1/2}\)
• \(f'(x) = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} + 24 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2}\)
• \(f'(x) = 3x^{1/2} + 12x^{-1/2}\)
• \(f'(x) = 3\sqrt{x} + \frac{12}{\sqrt{x}}\).

Теперь приравняем к нулю:

• \(3\sqrt{x} + \frac{12}{\sqrt{x}} = 0\)
• \(\frac{3x + 12}{\sqrt{x}} = 0\)
• \(3x + 12 = 0\)
• \(3x = -12\)
• \(x = -4\)

Снова получаем \(x=-4\), которое не входит в область определения \(x > 0\).

Если задача предполагает, что \(f'(x) = 0\) имеет решения, то, возможно, есть особенность в точке \(x=0\) или в постановке задачи.

Однако, если строго следовать математическим правилам, то \(f'(x) > 0\) для всех \(x > 0\). Это значит, что функция возрастает на всей своей области определения \(x > 0\).

Возможно, в условии подразумевается, что \(f'(x) = 0\) при \(x=0\) как