Найдите \( sin 2a \), если \( sin a = \frac{9}{41} \), \( a \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \).

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Используем формулу синуса двойного угла: \[sin 2a = 2 \cdot sin a \cdot cos a\]
• Шаг 2: Находим \( cos a \). Так как \( a \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \), \( cos a \) отрицателен.

Используем основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 a + cos^2 a = 1\]

Подставляем \( sin a = \frac{9}{41} \): \[(\frac{9}{41})^2 + cos^2 a = 1\]

Вычисляем: \[cos^2 a = 1 - (\frac{9}{41})^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}\]

Извлекаем квадратный корень (помним, что \( cos a \) отрицателен): \[cos a = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41}\]

• Шаг 3: Подставляем найденные значения в формулу синуса двойного угла: \[sin 2a = 2 \cdot \frac{9}{41} \cdot (-\frac{40}{41}) = -\frac{2 \cdot 9 \cdot 40}{41 \cdot 41} = -\frac{720}{1681}\]

Ответ: \(-\frac{720}{1681}\)