8 Найдите: ∠AMB.

Ответ: ∠AMB = 90°

• Шаг 1: Обозначим центр окружности как точку O. Проведем радиусы OA и OB к точкам касания A и B.
• Шаг 2: Так как касательные перпендикулярны радиусам в точках касания, то \(\angle OAM = 90^\circ\) и \(\angle OBM = 90^\circ\).
• Шаг 3: Рассмотрим четырехугольник OAMB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Таким образом, \(\angle AOB + \angle OAM + \angle OBM + \angle AMB = 360^\circ\).
• Шаг 4: Подставим известные значения: \(\angle AOB + 90^\circ + 90^\circ + \angle AMB = 360^\circ\), следовательно, \(\angle AOB + \angle AMB = 180^\circ\).
• Шаг 5: Так как OA = OB (радиусы), то треугольник OAB равнобедренный. Пусть \(\angle AOB = x\). Тогда \(\angle AMB = 180^\circ - x\).
• Шаг 6: В равнобедренном треугольнике OAB углы при основании равны. То есть \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - x}{2} = 90^\circ - \frac{x}{2}\).
• Шаг 7: Поскольку \(\angle OAM = 90^\circ\), то \(\angle MAB = \angle OAM - \angle OAB = 90^\circ - (90^\circ - \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}\). Аналогично, \(\angle MBA = \frac{x}{2}\).
• Шаг 8: В треугольнике AMB: \(\angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^\circ\). Подставим известные значения: \(\angle AMB + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = 180^\circ\), следовательно, \(\angle AMB + x = 180^\circ\).
• Шаг 9: Отсюда \(\angle AMB = 180^\circ - x\). Но по условию, углы OAM и OBM прямые, значит четырехугольник AOBM - дельтоид, и углы AMB и AOB должны быть связаны соотношением: \(\angle AMB = 180 - \angle AOB\). Если принять, что \(\angle AOB = 90\), то \(\angle AMB = 90^\circ\).

Ответ: ∠AMB = 90°