Найдите 5 sin α, если cos α = 2√6/5 и α ∈ (3π/2; 2π)

Привет! Давай разберемся с этой тригонометрической задачей.

Что нам дано:

• Значение косинуса: \( \cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5} \)
• Интервал, которому принадлежит угол \( \alpha \): \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)

Что нужно найти:

• Значение выражения \( 5 \sin \alpha \)

Шаг 1: Находим синус через основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество выглядит так: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Подставим известное значение косинуса:

\[ \sin^2 \alpha + \left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)^2 = 1 \]

\[ \sin^2 \alpha + \frac{4 \times 6}{25} = 1 \]

\[ \sin^2 \alpha + \frac{24}{25} = 1 \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{24}{25} \]

\[ \sin^2 \alpha = \frac{1}{25} \]

Теперь извлекаем квадратный корень:

\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} \]

\[ \sin \alpha = \pm \frac{1}{5} \]

Шаг 2: Определяем знак синуса.

Нам дан интервал \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \). Этот интервал соответствует четвертому квадранту координатной плоскости.

В четвертом квадранте синус отрицательный, а косинус - положительный. Нам повезло, наше значение косинуса \( \frac{2\sqrt{6}}{5} \) положительное, что соответствует четвертому квадранту.

Следовательно, для \( \sin \alpha \) мы выбираем отрицательное значение:

\[ \sin \alpha = -\frac{1}{5} \]

Шаг 3: Вычисляем искомое выражение.

Нам нужно найти \( 5 \sin \alpha \). Подставляем найденное значение синуса:

\[ 5 \times \left( -\frac{1}{5} \right) \]

\[ -1 \]

Ответ: -1