Найдите: a) \( sin \alpha \) и \( tg \alpha \), если \( cos \alpha = \frac{1}{2} \); б) \( sin \alpha \) и \( tg \alpha \), если \( sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \); г) \( cos \alpha \) и \( tg \alpha \), если \( sin \alpha = \frac{1}{4} \).

Решение:

а) Дано: \( cos \alpha = \frac{1}{2} \). Нужно найти: \( sin \alpha \) и \( tg \alpha \). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \] Подставим известное значение \( cos \alpha \): \[ sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \] \[ sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1 \] \[ sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} \] \[ sin^2 \alpha = \frac{3}{4} \] \[ sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \] \[ sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] Так как не указан квадрант угла \( \alpha \), рассмотрим оба варианта: 1) Если \( sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \] 2) Если \( sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), то \[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \] б) Дано: \( sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Нужно найти: \( sin \alpha \) и \( tg \alpha \). \( sin \alpha \) уже дано, так что нужно найти только \( tg \alpha \). Используем основное тригонометрическое тождество для нахождения \( cos \alpha \): \[ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \] \[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{3}{4} + cos^2 \alpha = 1 \] \[ cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} \] \[ cos^2 \alpha = \frac{1}{4} \] \[ cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \] \[ cos \alpha = \pm \frac{1}{2} \] Так как не указан квадрант угла \( \alpha \), рассмотрим оба варианта: 1) Если \( cos \alpha = \frac{1}{2} \), то \[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \] 2) Если \( cos \alpha = -\frac{1}{2} \), то \[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \] в) Дано: \( sin \alpha = \frac{1}{4} \). Нужно найти: \( cos \alpha \) и \( tg \alpha \). Используем основное тригонометрическое тождество для нахождения \( cos \alpha \): \[ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \] \[ \left(\frac{1}{4}\right)^2 + cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{1}{16} + cos^2 \alpha = 1 \] \[ cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} \] \[ cos^2 \alpha = \frac{15}{16} \] \[ cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} \] \[ cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \] Так как не указан квадрант угла \( \alpha \), рассмотрим оба варианта: 1) Если \( cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \), то \[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15} \] 2) Если \( cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4} \), то \[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15} \]

Ответ:

а) Если \( sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( tg \alpha = \sqrt{3} \); Если \( sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( tg \alpha = -\sqrt{3} \). б) Если \( cos \alpha = \frac{1}{2} \), то \( tg \alpha = \sqrt{3} \); Если \( cos \alpha = -\frac{1}{2} \), то \( tg \alpha = -\sqrt{3} \). в) Если \( cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \), то \( tg \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15} \); Если \( cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4} \), то \( tg \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{15} \).

Ты молодец! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!