593 Найдите: a) sin α и tg α, если cos α = \frac{1}{2}; б) sin α и tg α, если cos α = \frac{2}{3}; в) cos α и tg α, если sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}; г) cos α и tg α, если sin α = \frac{1}{4}.

a) Дано: cos α = \(\frac{1}{2}\).

Найти: sin α, tg α.

Решение:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1
   $$sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
   $$sin α = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
2. Тангенс угла: tg α = \(\frac{sin α}{cos α}\)
   $$tg α = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$$

Ответ: $$sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$tg α = \sqrt{3}$$

---

б) Дано: cos α = \(\frac{2}{3}\).

Найти: sin α, tg α.

Решение:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1
   $$sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$
   $$sin α = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$
2. Тангенс угла: tg α = \(\frac{sin α}{cos α}\)
   $$tg α = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Ответ: $$sin α = \frac{\sqrt{5}}{3}$$, $$tg α = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

---

в) Дано: sin α = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Найти: cos α, tg α.

Решение:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1
   $$cos^2 α = 1 - sin^2 α = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$
   $$cos α = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$
2. Тангенс угла: tg α = \(\frac{sin α}{cos α}\)
   $$tg α = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$$

Ответ: $$cos α = \frac{1}{2}$$, $$tg α = \sqrt{3}$$

---

г) Дано: sin α = \(\frac{1}{4}\).

Найти: cos α, tg α.

Решение:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1
   $$cos^2 α = 1 - sin^2 α = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$
   $$cos α = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$
2. Тангенс угла: tg α = \(\frac{sin α}{cos α}\)
   $$tg α = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$$

Ответ: $$cos α = \frac{\sqrt{15}}{4}$$, $$tg α = \frac{\sqrt{15}}{15}$$