Найдите: a) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Решение:

Чтобы найти значения тригонометрических функций, будем использовать основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 α + \cos^2 α = 1 \) и определения \( \operatorname{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} \).

а) sin α и tg α, если cos α = 1/2

1. Найдем sin α: \( \sin^2 α = 1 - \cos^2 α = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4 \). Следовательно, \( \sin α = \pm\sqrt{3/4} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \).
2. Найдем tg α: \( \operatorname{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\pm\sqrt{3}/2}{1/2} = \pm\sqrt{3} \).

б) sin α и tg α, если cos α = 2/3

1. Найдем sin α: \( \sin^2 α = 1 - \cos^2 α = 1 - (2/3)^2 = 1 - 4/9 = 5/9 \). Следовательно, \( \sin α = \pm\sqrt{5/9} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} \).
2. Найдем tg α: \( \operatorname{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\pm\sqrt{5}/3}{2/3} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2} \).

в) cos α и tg α, если sin α = √3/2

1. Найдем cos α: \( \cos^2 α = 1 - \sin^2 α = 1 - (\sqrt{3}/2)^2 = 1 - 3/4 = 1/4 \). Следовательно, \( \cos α = \pm\sqrt{1/4} = \pm1/2 \).
2. Найдем tg α: \( \operatorname{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\sqrt{3}/2}{\pm1/2} = \pm\sqrt{3} \).

г) cos α и tg α, если sin α = 1/4

1. Найдем cos α: \( \cos^2 α = 1 - \sin^2 α = 1 - (1/4)^2 = 1 - 1/16 = 15/16 \). Следовательно, \( \cos α = \pm\sqrt{15/16} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4} \).
2. Найдем tg α: \( \operatorname{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{1/4}{\pm\sqrt{15}/4} = \pm\frac{1}{\sqrt{15}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{15} \).

Ответ:

• а) \( \sin α = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \operatorname{tg} α = \pm\sqrt{3} \)
• б) \( \sin α = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}, \operatorname{tg} α = \pm\frac{\sqrt{5}}{2} \)
• в) \( \cos α = \pm1/2, \operatorname{tg} α = \pm\sqrt{3} \)
• г) \( \cos α = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}, \operatorname{tg} α = \pm\frac{\sqrt{15}}{15} \)