488 Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.

Решение: a) Дано: равносторонний треугольник, $$a = 6$$ см. Найти: высоту $$h$$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Высоту можно найти по теореме Пифагора: $$h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ (см). б) Дано: равносторонний треугольник, $$h = 4$$ см. Найти: сторону $$a$$. Высота равностороннего треугольника равна $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$, где $$a$$ - сторона треугольника. Отсюда можно выразить сторону: $$a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$ (см). Ответ: а) $$3\sqrt{3}$$ см; б) $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$ см.