Найдите \( \angle ABC \) если \( \angle ACD = 40^{\circ} \), \( \angle CAD = 50^{\circ} \).

Решение:

Рассмотрим \( \triangle ACD \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ACD - \angle CAD \)

\( \angle ADC = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 50^{\circ} = 90^{\circ} \).

Так как \( \angle ADC = 90^{\circ} \), то дуга \( AC \) равна \( 2 \cdot 90^{\circ} = 180^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AC \).

\( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{ дуги } AC \) или \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC \).

Так как дуга \( AC \) равна \( 180^{\circ} \), то \( \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ} \).

Ответ: \( \angle ABC = 90^{\circ} \).