Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 45° и 120°, a CD = 34.

Пусть дана трапеция ABCD, где $$\angle ABC = 45^\circ$$, $$\angle BCD = 120^\circ$$, и $$CD = 34$$. Необходимо найти боковую сторону $$AB$$. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $$180^\circ$$, то $$\angle ABC + \angle BCD = 45^\circ + 120^\circ = 165^\circ
eq 180^\circ$$. Это означает, что $$BC$$ не является основанием трапеции. Следовательно, основания трапеции $$AD$$ и $$BC$$. Угол $$\angle BCD = 120^\circ$$, следовательно, $$\angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$. Угол $$\angle ABC = 45^\circ$$, следовательно, $$\angle BAD = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$$. Проведем высоту $$CE$$ из вершины $$C$$ на основание $$AD$$. Рассмотрим треугольник $$CED$$. $$\angle EDC = 60^\circ$$, значит, $$\angle ECD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. Тогда $$DE = CD \cdot cos(60^\circ) = 34 \cdot \frac{1}{2} = 17$$. $$CE = CD \cdot sin(60^\circ) = 34 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 17\sqrt{3}$$. Проведем высоту $$BF$$ из вершины $$B$$ на основание $$AD$$. Тогда $$BF = CE = 17\sqrt{3}$$. Рассмотрим треугольник $$ABF$$. $$\angle ABF = 45^\circ$$, значит, $$\angle BAF = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Следовательно, $$ABF$$ - равнобедренный прямоугольный треугольник, и $$AF = BF = 17\sqrt{3}$$. Тогда $$AB = \frac{BF}{sin(45^\circ)} = \frac{17\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{34\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 17\sqrt{6}$$. **Ответ: Боковая сторона AB трапеции равна $$17\sqrt{6}$$.**