Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 7 см.

1. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, в котором AC = BC, угол C = 90°, CH - высота, проведенная к гипотенузе AB, и CH = 7 см.

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является и медианой. Следовательно, AH = HB, и AH = HB = AB/2.

3. Рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный, так как CH - высота. Угол CAH = 45°, так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45°.

4. Так как угол CAH = 45°, то треугольник ACH - равнобедренный, и AC = CH. Следовательно, AC = 7 см.

5. Найдем площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника ABC равна половине произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 = \frac{49}{2} = 24.5 \text{ см}^2$$

Ответ: Боковая сторона равна 7 см, площадь равна 24.5 см².