Найдите частное \(\frac{b_1}{q}\) для геометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего членов равна 40, а сумма второго и четвертого равна 80.

Разбираемся:

• В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель \(q\): \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
• По условию, сумма первого и третьего членов равна 40, а сумма второго и четвертого равна 80. Запишем это в виде системы уравнений: \[\begin{cases} b_1 + b_3 = 40 \\ b_2 + b_4 = 80 \end{cases}\]
• Выразим все члены через первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\): \[\begin{cases} b_1 + b_1 \cdot q^2 = 40 \\ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^3 = 80 \end{cases}\]
• Вынесем общий множитель в каждом уравнении: \[\begin{cases} b_1(1 + q^2) = 40 \\ b_1 \cdot q(1 + q^2) = 80 \end{cases}\]
• Разделим второе уравнение на первое: \[\frac{b_1 \cdot q(1 + q^2)}{b_1(1 + q^2)} = \frac{80}{40}\] \[q = 2\]
• Подставим значение \(q\) в первое уравнение: \[b_1(1 + 2^2) = 40\] \[b_1(1 + 4) = 40\] \[5b_1 = 40\] \[b_1 = 8\]
• Теперь найдем частное \(\frac{b_1}{q}\): \[\frac{b_1}{q} = \frac{8}{2} = 4\]
• Но в задании спрашивают найти \(\frac{b_1}{q}\), то есть: \[\frac{b_1}{q} = \frac{8}{2} = 4\]