Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь: \(\frac{4x^2 + 4x + 1}{1 - 2y + y^2} : \frac{(2x + 1)^4}{(1 - y)^3}\)

Решение:

Чтобы найти частное двух дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель дробей:

Числитель первой дроби: \( 4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x + 1)^2 \)

Знаменатель первой дроби: \( 1 - 2y + y^2 = (1 - y)^2 \)

Теперь запишем выражение:

\[ \frac{(2x + 1)^2}{(1 - y)^2} : \frac{(2x + 1)^4}{(1 - y)^3} = \frac{(2x + 1)^2}{(1 - y)^2} \cdot \frac{(1 - y)^3}{(2x + 1)^4} \]

Сократим дроби:

\[ \frac{\cancel{(2x + 1)^2}}{\cancel{(1 - y)^2}} \cdot \frac{(1 - y)^{\cancel{3}}}{(2x + 1)^{\cancel{4}}} = \frac{1 - y}{(2x + 1)^2} \]

Раскроем скобки в знаменателе:

\[ \frac{1 - y}{4x^2 + 4x + 1} \]

Ответ: \( \frac{1 - y}{(2x + 1)^2} \)