Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь: $$ \frac{x^2 - y^2}{z^2 + yz} : \frac{x + y}{y^2 - z^2} = $$

Question

Вопрос:

Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь: $$ \frac{x^2 - y^2}{z^2 + yz} : \frac{x + y}{y^2 - z^2} = $$

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Чтобы найти частное двух дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Перепишем деление в виде умножения на обратную дробь: \[ \frac{x^2 - y^2}{z^2 + yz} \cdot \frac{y^2 - z^2}{x + y} \]
Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и вынесение общего множителя за скобки:
$ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $
$ z^2 + yz = z(z+y) $
$ y^2 - z^2 = (y-z)(y+z) $
Подставим разложенные выражения в дробь: \[ \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{(y-z)(y+z)}{(x+y)} \]
Сократим общие множители $ (x+y) $. Заметим, что $ y-z = -(z-y) $. Поэтому $ \frac{y-z}{z+y} $ можно записать как $ \frac{-(z-y)}{y+z} $.
Также заметим, что $ y^2 - z^2 = -(z^2 - y^2) $.
Продолжим преобразования, используя $ y^2 - z^2 = -(z^2 - y^2) $: \[ \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z^2 - y^2)}{x+y} \]
Сократим $ x+y $: \[ \frac{x-y}{z(z+y)} \cdot (-(z^2 - y^2)) \]
Заметим, что $ z^2 - y^2 = (z-y)(z+y) $ и $ z+y = y+z $.
Подставим: \[ \frac{x-y}{z(y+z)} \cdot (-(z-y)(z+y)) \]
Сократим $ y+z $: \[ \frac{x-y}{z} \cdot (-(z-y)) \]
Раскроем скобки: \[ \frac{-(x-y)(z-y)}{z} \]
Или, если раскрыть скобки в числителе: \[ \frac{-xz + xy + yz - y^2}{z} \]

Более простой вариант сокращения:
$ \frac{x^2 - y^2}{z^2 + yz} : \frac{x + y}{y^2 - z^2} = \frac{x^2 - y^2}{z(z+y)} \cdot \frac{y^2 - z^2}{x + y} = \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{(y-z)(y+z)}{x+y} $

Заметим, что $ y^2 - z^2 = -(z^2 - y^2) $.
$ \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z^2 - y^2)}{x+y} = \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z-y)(z+y)}{x+y} $

Сокращаем $ x+y $ и $ z+y $:
$ \frac{x-y}{z} \cdot \frac{-(z-y)}{1} = \frac{-(x-y)(z-y)}{z} = \frac{-(xz - xy - yz + y^2)}{z} = \frac{-xz + xy + yz - y^2}{z} $

Или:
$ \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{(y-z)(y+z)}{x+y} $

Заменим $ y^2-z^2 = -(z^2-y^2) $.
$ \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z-y)(z+y)}{x+y} $

Сокращаем $ x+y $ и $ y+z $ (т.к. $ z+y=y+z $):
$ \frac{x-y}{z} \cdot \frac{-(z-y)}{1} = \frac{-(x-y)(z-y)}{z} $.

Если $ y^2-z^2 $ переписать как $ -(z^2-y^2) $ и $ z^2+yz $ как $ z(z+y) $:
$ \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z-y)(z+y)}{x+y} $

Сокращаем $ (x+y) $ и $ (z+y) $:
$ \frac{x-y}{z} \cdot (-(z-y)) = \frac{-(x-y)(z-y)}{z} $.

Это можно записать как:
$ \frac{(y-x)(z-y)}{z} $ или $ \frac{(x-y)(y-z)}{z} $.

Выберем последнее:
$ \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{(y-z)(y+z)}{x+y} $

Сокращаем $ x+y $:
$ \frac{x-y}{z(z+y)} \cdot (y-z)(y+z) $

Сокращаем $ z+y $ (т.к. $ z+y = y+z $):
$ \frac{x-y}{z} \cdot (y-z) = \frac{(x-y)(y-z)}{z} $

Ответ: $ \frac{(x-y)(y-z)}{z} $