Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Если сумма крайних чисел равна 80, а сумма средних чисел равна 60. Запишите эти числа без пробелов и запятых.

Пусть наши четыре числа будут $$a$$, $$b$$, $$c$$, и $$d$$. Из условия задачи мы имеем следующие уравнения: 1) $$a + d = 80$$ 2) $$b + c = 60$$ 3) $$b^2 = ac$$ (так как $$a$$, $$b$$, $$c$$ - геометрическая прогрессия) 4) $$c - b = d - c$$ (так как $$b$$, $$c$$, $$d$$ - арифметическая прогрессия) Из уравнения (4) мы можем выразить $$d$$ через $$b$$ и $$c$$: $$d = 2c - b$$. Подставим это в уравнение (1): $$a + 2c - b = 80$$, отсюда $$a = 80 + b - 2c$$. Теперь подставим выражения для $$a$$ и $$d$$ в уравнение (3): $$b^2 = (80 + b - 2c)c$$ $$b^2 = 80c + bc - 2c^2$$ $$2c^2 - (80 + b)c + b^2 = 0$$ Теперь мы знаем, что $$c = 60 - b$$. Подставим это выражение для $$c$$ в последнее уравнение: $$2(60 - b)^2 - (80 + b)(60 - b) + b^2 = 0$$ $$2(3600 - 120b + b^2) - (4800 - 80b + 60b - b^2) + b^2 = 0$$ $$7200 - 240b + 2b^2 - 4800 + 20b + b^2 + b^2 = 0$$ $$4b^2 - 220b + 2400 = 0$$ Разделим на 4: $$b^2 - 55b + 600 = 0$$ Решим квадратное уравнение для $$b$$: $$D = (-55)^2 - 4(1)(600) = 3025 - 2400 = 625$$ $$b_1 = \frac{55 + \sqrt{625}}{2} = \frac{55 + 25}{2} = \frac{80}{2} = 40$$ $$b_2 = \frac{55 - \sqrt{625}}{2} = \frac{55 - 25}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ Если $$b = 40$$, то $$c = 60 - 40 = 20$$. Тогда $$a = 80 + 40 - 2(20) = 80 + 40 - 40 = 80$$. $$d = 2(20) - 40 = 40 - 40 = 0$$. Но числа $$80, 40, 20$$ являются геометрической прогрессией, а $$40, 20, 0$$ - арифметической прогрессией. Таким образом, числа $$80, 40, 20, 0$$ удовлетворяют условиям. Если $$b = 15$$, то $$c = 60 - 15 = 45$$. Тогда $$a = 80 + 15 - 2(45) = 95 - 90 = 5$$. $$d = 2(45) - 15 = 90 - 15 = 75$$. Числа $$5, 15, 45$$ являются геометрической прогрессией, а $$15, 45, 75$$ - арифметической прогрессией. Таким образом, числа $$5, 15, 45, 75$$ удовлетворяют условиям. Итак, мы имеем два решения: $$80, 40, 20, 0$$ и $$5, 15, 45, 75$$. Ответ: **8040200 или 5154575**