33.23. Найдите четыре последовательных чётных натуральных числа, если сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше произведения второго и четвёртого чисел,

Пусть первое четное натуральное число равно $$2x$$, тогда четыре последовательных четных натуральных числа будут $$2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6$$.

Сумма первого и третьего чисел: $$2x + 2x + 4 = 4x + 4$$.

Произведение второго и четвёртого чисел: $$(2x + 2)(2x + 6) = 4x^2 + 12x + 4x + 12 = 4x^2 + 16x + 12$$.

По условию, сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше произведения второго и четвёртого чисел, то есть произведение в 5 раз больше суммы. Следовательно, имеем уравнение:

$$5(4x + 4) = 4x^2 + 16x + 12$$

$$20x + 20 = 4x^2 + 16x + 12$$

$$4x^2 - 4x - 8 = 0$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

Так как числа натуральные, то $$x = 2$$. Следовательно, искомые числа:

$$2x = 2 \cdot 2 = 4$$

$$2x + 2 = 4 + 2 = 6$$

$$2x + 4 = 4 + 4 = 8$$

$$2x + 6 = 4 + 6 = 10$$

Проверим:

Сумма первого и третьего: $$4 + 8 = 12$$

Произведение второго и четвёртого: $$6 \cdot 10 = 60$$

Действительно, $$12 \cdot 5 = 60$$.

Ответ: 4, 6, 8, 10